(* Title: HOL/Tools/rewrite_hol_proof.ML Author: Stefan Berghofer, TU Muenchen Rewrite rules for HOL proofs *) signature REWRITE_HOL_PROOF = sig val rews: (Proofterm.proof * Proofterm.proof) list val elim_cong: typ list -> Proofterm.proof -> Proofterm.proof option end; structure RewriteHOLProof : REWRITE_HOL_PROOF = struct open Proofterm; val rews = map (pairself (ProofSyntax.proof_of_term (the_context ()) true) o Logic.dest_equals o Logic.varify o ProofSyntax.read_term (the_context ()) propT) (** eliminate meta-equality rules **) ["(equal_elim % x1 % x2 %% \ \ (combination % TYPE('T1) % TYPE('T2) % Trueprop % x3 % A % B %% \ \ (axm.reflexive % TYPE('T3) % x4) %% prf1)) == \ \ (iffD1 % A % B %% \ \ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE(bool) % A % B %% prf1))", "(equal_elim % x1 % x2 %% (axm.symmetric % TYPE('T1) % x3 % x4 %% \ \ (combination % TYPE('T2) % TYPE('T3) % Trueprop % x5 % A % B %% \ \ (axm.reflexive % TYPE('T4) % x6) %% prf1))) == \ \ (iffD2 % A % B %% \ \ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE(bool) % A % B %% prf1))", "(meta_eq_to_obj_eq % TYPE('U) % x1 % x2 %% \ \ (combination % TYPE('U) % TYPE('T) % f % g % x % y %% prf1 %% prf2)) == \ \ (cong % TYPE('U) % TYPE('T) % f % g % x % y %% \ \ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T => 'U) % f % g %% prf1) %% \ \ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % x % y %% prf2))", "(meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % x1 % x2 %% \ \ (axm.transitive % TYPE('T) % x % y % z %% prf1 %% prf2)) == \ \ (HOL.trans % TYPE('T) % x % y % z %% \ \ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % x % y %% prf1) %% \ \ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % y % z %% prf2))", "(meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % x % x %% (axm.reflexive % TYPE('T) % x)) == \ \ (HOL.refl % TYPE('T) % x)", "(meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % x % y %% \ \ (axm.symmetric % TYPE('T) % x % y %% prf)) == \ \ (sym % TYPE('T) % x % y %% (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % x % y %% prf))", "(meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T => 'U) % x1 % x2 %% \ \ (abstract_rule % TYPE('U) % TYPE('T) % f % g %% prf)) == \ \ (ext % TYPE('U) % TYPE('T) % f % g %% \ \ (Lam (x::'T). meta_eq_to_obj_eq % TYPE('U) % f x % g x %% (prf % x)))", "(meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % x % y %% \ \ (eq_reflection % TYPE('T) % x % y %% prf)) == prf", "(meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T1) % x1 % x2 %% (equal_elim % x3 % x4 %% \ \ (combination % TYPE(prop) % TYPE('T) % x7 % x8 % C % D %% \ \ (combination % TYPE('T3) % TYPE('T) % op == % op == % A % B %% \ \ (axm.reflexive % TYPE('T4) % op ==) %% prf1) %% prf2) %% prf3)) == \ \ (iffD1 % A = C % B = D %% \ \ (cong % TYPE(bool) % TYPE('T::type) % op = A % op = B % C % D %% \ \ (cong % TYPE('T=>bool) % TYPE('T) % \ \ (op = :: 'T=>'T=>bool) % (op = :: 'T=>'T=>bool) % A % B %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T=>'T=>bool) % (op = :: 'T=>'T=>bool)) %% \ \ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % A % B %% prf1)) %% \ \ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % C % D %% prf2)) %% \ \ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % A % C %% prf3))", "(meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T1) % x1 % x2 %% (equal_elim % x3 % x4 %% \ \ (axm.symmetric % TYPE('T2) % x5 % x6 %% \ \ (combination % TYPE(prop) % TYPE('T) % x7 % x8 % C % D %% \ \ (combination % TYPE('T3) % TYPE('T) % op == % op == % A % B %% \ \ (axm.reflexive % TYPE('T4) % op ==) %% prf1) %% prf2)) %% prf3)) == \ \ (iffD2 % A = C % B = D %% \ \ (cong % TYPE(bool) % TYPE('T::type) % op = A % op = B % C % D %% \ \ (cong % TYPE('T=>bool) % TYPE('T) % \ \ (op = :: 'T=>'T=>bool) % (op = :: 'T=>'T=>bool) % A % B %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T=>'T=>bool) % (op = :: 'T=>'T=>bool)) %% \ \ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % A % B %% prf1)) %% \ \ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % C % D %% prf2)) %% \ \ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % B % D %% prf3))", (** rewriting on bool: insert proper congruence rules for logical connectives **) (* All *) "(iffD1 % All P % All Q %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % All % All % P % Q %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T3) % x1) %% (ext % TYPE(bool) % TYPE('a) % x2 % x3 %% prf)) %% prf') == \ \ (allI % TYPE('a) % Q %% \ \ (Lam x. \ \ iffD1 % P x % Q x %% (prf % x) %% \ \ (spec % TYPE('a) % P % x %% prf')))", "(iffD2 % All P % All Q %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % All % All % P % Q %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T3) % x1) %% (ext % TYPE(bool) % TYPE('a) % x2 % x3 %% prf)) %% prf') == \ \ (allI % TYPE('a) % P %% \ \ (Lam x. \ \ iffD2 % P x % Q x %% (prf % x) %% \ \ (spec % TYPE('a) % Q % x %% prf')))", (* Ex *) "(iffD1 % Ex P % Ex Q %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % Ex % Ex % P % Q %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T3) % x1) %% (ext % TYPE(bool) % TYPE('a) % x2 % x3 %% prf)) %% prf') == \ \ (exE % TYPE('a) % P % EX x. Q x %% prf' %% \ \ (Lam x H : P x. \ \ exI % TYPE('a) % Q % x %% \ \ (iffD1 % P x % Q x %% (prf % x) %% H)))", "(iffD2 % Ex P % Ex Q %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % Ex % Ex % P % Q %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T3) % x1) %% (ext % TYPE(bool) % TYPE('a) % x2 % x3 %% prf)) %% prf') == \ \ (exE % TYPE('a) % Q % EX x. P x %% prf' %% \ \ (Lam x H : Q x. \ \ exI % TYPE('a) % P % x %% \ \ (iffD2 % P x % Q x %% (prf % x) %% H)))", (* & *) "(iffD1 % A & C % B & D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % x1 % x2 % C % D %% \ \ (cong % TYPE('T3) % TYPE('T4) % op & % op & % A % B %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T5) % op &) %% prf1) %% prf2) %% prf3) == \ \ (conjI % B % D %% \ \ (iffD1 % A % B %% prf1 %% (conjunct1 % A % C %% prf3)) %% \ \ (iffD1 % C % D %% prf2 %% (conjunct2 % A % C %% prf3)))", "(iffD2 % A & C % B & D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % x1 % x2 % C % D %% \ \ (cong % TYPE('T3) % TYPE('T4) % op & % op & % A % B %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T5) % op &) %% prf1) %% prf2) %% prf3) == \ \ (conjI % A % C %% \ \ (iffD2 % A % B %% prf1 %% (conjunct1 % B % D %% prf3)) %% \ \ (iffD2 % C % D %% prf2 %% (conjunct2 % B % D %% prf3)))", "(cong % TYPE(bool) % TYPE(bool) % op & A % op & A % B % C %% \ \ (HOL.refl % TYPE(bool=>bool) % op & A)) == \ \ (cong % TYPE(bool) % TYPE(bool) % op & A % op & A % B % C %% \ \ (cong % TYPE(bool=>bool) % TYPE(bool) % \ \ (op & :: bool=>bool=>bool) % (op & :: bool=>bool=>bool) % A % A %% \ \ (HOL.refl % TYPE(bool=>bool=>bool) % (op & :: bool=>bool=>bool)) %% \ \ (HOL.refl % TYPE(bool) % A)))", (* | *) "(iffD1 % A | C % B | D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % x1 % x2 % C % D %% \ \ (cong % TYPE('T3) % TYPE('T4) % op | % op | % A % B %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T5) % op | ) %% prf1) %% prf2) %% prf3) == \ \ (disjE % A % C % B | D %% prf3 %% \ \ (Lam H : A. disjI1 % B % D %% (iffD1 % A % B %% prf1 %% H)) %% \ \ (Lam H : C. disjI2 % D % B %% (iffD1 % C % D %% prf2 %% H)))", "(iffD2 % A | C % B | D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % x1 % x2 % C % D %% \ \ (cong % TYPE('T3) % TYPE('T4) % op | % op | % A % B %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T5) % op | ) %% prf1) %% prf2) %% prf3) == \ \ (disjE % B % D % A | C %% prf3 %% \ \ (Lam H : B. disjI1 % A % C %% (iffD2 % A % B %% prf1 %% H)) %% \ \ (Lam H : D. disjI2 % C % A %% (iffD2 % C % D %% prf2 %% H)))", "(cong % TYPE(bool) % TYPE(bool) % op | A % op | A % B % C %% \ \ (HOL.refl % TYPE(bool=>bool) % op | A)) == \ \ (cong % TYPE(bool) % TYPE(bool) % op | A % op | A % B % C %% \ \ (cong % TYPE(bool=>bool) % TYPE(bool) % \ \ (op | :: bool=>bool=>bool) % (op | :: bool=>bool=>bool) % A % A %% \ \ (HOL.refl % TYPE(bool=>bool=>bool) % (op | :: bool=>bool=>bool)) %% \ \ (HOL.refl % TYPE(bool) % A)))", (* --> *) "(iffD1 % A --> C % B --> D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % x1 % x2 % C % D %% \ \ (cong % TYPE('T3) % TYPE('T4) % op --> % op --> % A % B %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T5) % op --> ) %% prf1) %% prf2) %% prf3) == \ \ (impI % B % D %% (Lam H: B. iffD1 % C % D %% prf2 %% \ \ (mp % A % C %% prf3 %% (iffD2 % A % B %% prf1 %% H))))", "(iffD2 % A --> C % B --> D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % x1 % x2 % C % D %% \ \ (cong % TYPE('T3) % TYPE('T4) % op --> % op --> % A % B %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T5) % op --> ) %% prf1) %% prf2) %% prf3) == \ \ (impI % A % C %% (Lam H: A. iffD2 % C % D %% prf2 %% \ \ (mp % B % D %% prf3 %% (iffD1 % A % B %% prf1 %% H))))", "(cong % TYPE(bool) % TYPE(bool) % op --> A % op --> A % B % C %% \ \ (HOL.refl % TYPE(bool=>bool) % op --> A)) == \ \ (cong % TYPE(bool) % TYPE(bool) % op --> A % op --> A % B % C %% \ \ (cong % TYPE(bool=>bool) % TYPE(bool) % \ \ (op --> :: bool=>bool=>bool) % (op --> :: bool=>bool=>bool) % A % A %% \ \ (HOL.refl % TYPE(bool=>bool=>bool) % (op --> :: bool=>bool=>bool)) %% \ \ (HOL.refl % TYPE(bool) % A)))", (* ~ *) "(iffD1 % ~ P % ~ Q %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % Not % Not % P % Q %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T3) % Not) %% prf1) %% prf2) == \ \ (notI % Q %% (Lam H: Q. \ \ notE % P % False %% prf2 %% (iffD2 % P % Q %% prf1 %% H)))", "(iffD2 % ~ P % ~ Q %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % Not % Not % P % Q %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T3) % Not) %% prf1) %% prf2) == \ \ (notI % P %% (Lam H: P. \ \ notE % Q % False %% prf2 %% (iffD1 % P % Q %% prf1 %% H)))", (* = *) "(iffD1 % B % D %% \ \ (iffD1 % A = C % B = D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE(bool) % x1 % x2 % C % D %% \ \ (cong % TYPE('T2) % TYPE(bool) % op = % op = % A % B %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T3) % op =) %% prf1) %% prf2) %% prf3) %% prf4) == \ \ (iffD1 % C % D %% prf2 %% \ \ (iffD1 % A % C %% prf3 %% (iffD2 % A % B %% prf1 %% prf4)))", "(iffD2 % B % D %% \ \ (iffD1 % A = C % B = D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE(bool) % x1 % x2 % C % D %% \ \ (cong % TYPE('T2) % TYPE(bool) % op = % op = % A % B %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T3) % op =) %% prf1) %% prf2) %% prf3) %% prf4) == \ \ (iffD1 % A % B %% prf1 %% \ \ (iffD2 % A % C %% prf3 %% (iffD2 % C % D %% prf2 %% prf4)))", "(iffD1 % A % C %% \ \ (iffD2 % A = C % B = D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE(bool) % x1 % x2 % C % D %% \ \ (cong % TYPE('T2) % TYPE(bool) % op = % op = % A % B %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T3) % op =) %% prf1) %% prf2) %% prf3) %% prf4)== \ \ (iffD2 % C % D %% prf2 %% \ \ (iffD1 % B % D %% prf3 %% (iffD1 % A % B %% prf1 %% prf4)))", "(iffD2 % A % C %% \ \ (iffD2 % A = C % B = D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE(bool) % x1 % x2 % C % D %% \ \ (cong % TYPE('T2) % TYPE(bool) % op = % op = % A % B %% \ \ (HOL.refl % TYPE('T3) % op =) %% prf1) %% prf2) %% prf3) %% prf4) == \ \ (iffD2 % A % B %% prf1 %% \ \ (iffD2 % B % D %% prf3 %% (iffD1 % C % D %% prf2 %% prf4)))", "(cong % TYPE(bool) % TYPE(bool) % op = A % op = A % B % C %% \ \ (HOL.refl % TYPE(bool=>bool) % op = A)) == \ \ (cong % TYPE(bool) % TYPE(bool) % op = A % op = A % B % C %% \ \ (cong % TYPE(bool=>bool) % TYPE(bool) % \ \ (op = :: bool=>bool=>bool) % (op = :: bool=>bool=>bool) % A % A %% \ \ (HOL.refl % TYPE(bool=>bool=>bool) % (op = :: bool=>bool=>bool)) %% \ \ (HOL.refl % TYPE(bool) % A)))", (** transitivity, reflexivity, and symmetry **) "(iffD1 % A % C %% (HOL.trans % TYPE(bool) % A % B % C %% prf1 %% prf2) %% prf3) == \ \ (iffD1 % B % C %% prf2 %% (iffD1 % A % B %% prf1 %% prf3))", "(iffD2 % A % C %% (HOL.trans % TYPE(bool) % A % B % C %% prf1 %% prf2) %% prf3) == \ \ (iffD2 % A % B %% prf1 %% (iffD2 % B % C %% prf2 %% prf3))", "(iffD1 % A % A %% (HOL.refl % TYPE(bool) % A) %% prf) == prf", "(iffD2 % A % A %% (HOL.refl % TYPE(bool) % A) %% prf) == prf", "(iffD1 % A % B %% (sym % TYPE(bool) % B % A %% prf)) == (iffD2 % B % A %% prf)", "(iffD2 % A % B %% (sym % TYPE(bool) % B % A %% prf)) == (iffD1 % B % A %% prf)", (** normalization of HOL proofs **) "(mp % A % B %% (impI % A % B %% prf)) == prf", "(impI % A % B %% (mp % A % B %% prf)) == prf", "(spec % TYPE('a) % P % x %% (allI % TYPE('a) % P %% prf)) == prf % x", "(allI % TYPE('a) % P %% (Lam x::'a. spec % TYPE('a) % P % x %% prf)) == prf", "(exE % TYPE('a) % P % Q %% (exI % TYPE('a) % P % x %% prf1) %% prf2) == (prf2 % x %% prf1)", "(exE % TYPE('a) % P % Q %% prf %% (exI % TYPE('a) % P)) == prf", "(disjE % P % Q % R %% (disjI1 % P % Q %% prf1) %% prf2 %% prf3) == (prf2 %% prf1)", "(disjE % P % Q % R %% (disjI2 % Q % P %% prf1) %% prf2 %% prf3) == (prf3 %% prf1)", "(conjunct1 % P % Q %% (conjI % P % Q %% prf1 %% prf2)) == prf1", "(conjunct2 % P % Q %% (conjI % P % Q %% prf1 %% prf2)) == prf2", "(iffD1 % A % B %% (iffI % A % B %% prf1 %% prf2)) == prf1", "(iffD2 % A % B %% (iffI % A % B %% prf1 %% prf2)) == prf2"]; (** Replace congruence rules by substitution rules **) fun strip_cong ps (PThm (_, (("HOL.cong", _, _), _)) % _ % _ % SOME x % SOME y %% prf1 %% prf2) = strip_cong (((x, y), prf2) :: ps) prf1 | strip_cong ps (PThm (_, (("HOL.refl", _, _), _)) % SOME f) = SOME (f, ps) | strip_cong _ _ = NONE; val subst_prf = fst (strip_combt (Thm.proof_of subst)); val sym_prf = fst (strip_combt (Thm.proof_of sym)); fun make_subst Ts prf xs (_, []) = prf | make_subst Ts prf xs (f, ((x, y), prf') :: ps) = let val T = fastype_of1 (Ts, x) in if x aconv y then make_subst Ts prf (xs @ [x]) (f, ps) else change_type (SOME [T]) subst_prf %> x %> y %> Abs ("z", T, list_comb (incr_boundvars 1 f, map (incr_boundvars 1) xs @ Bound 0 :: map (incr_boundvars 1 o snd o fst) ps)) %% prf' %% make_subst Ts prf (xs @ [x]) (f, ps) end; fun make_sym Ts ((x, y), prf) = ((y, x), change_type (SOME [fastype_of1 (Ts, x)]) sym_prf %> x %> y %% prf); fun mk_AbsP P t = AbsP ("H", Option.map HOLogic.mk_Trueprop P, t); fun elim_cong Ts (PThm (_, (("HOL.iffD1", _, _), _)) % _ % _ %% prf1 %% prf2) = Option.map (make_subst Ts prf2 []) (strip_cong [] prf1) | elim_cong Ts (PThm (_, (("HOL.iffD1", _, _), _)) % P % _ %% prf) = Option.map (mk_AbsP P o make_subst Ts (PBound 0) []) (strip_cong [] (incr_pboundvars 1 0 prf)) | elim_cong Ts (PThm (_, (("HOL.iffD2", _, _), _)) % _ % _ %% prf1 %% prf2) = Option.map (make_subst Ts prf2 [] o apsnd (map (make_sym Ts))) (strip_cong [] prf1) | elim_cong Ts (PThm (_, (("HOL.iffD2", _, _), _)) % _ % P %% prf) = Option.map (mk_AbsP P o make_subst Ts (PBound 0) [] o apsnd (map (make_sym Ts))) (strip_cong [] (incr_pboundvars 1 0 prf)) | elim_cong _ _ = NONE; end;